domingo, 30 de noviembre de 2014
MÉTODO DE FIBONACCI
INTRODUCCIÓN
Este método o sucesión fue
descrito en Europa por Leonardo Fibonacci de Pisa, hombre que nació en Pisa, alrededor
de 1.175 después de Cristo. Fibonacci fue el más grande de los
matemáticos Europeos de la edad media.
Fue el primero en introducir
el sistema numérico Hindú-Arábico en Europa (el sistema basado en los diez
dígitos, con su punto decimal y un símbolo para el cero). Escribió un libro
sobre cómo hacer aritmética en el sistema decimal, titulado “Liber Abacci” (“Libro
del Abaco” o “libro de Cálculo”), terminado en 1.202. Falleció en 1.240. Hoy
día, existe una estatua suya en Pisa (gracias a Nicholas Farhi de la
Universidad de Winchester). Entre otros de sus trabajos se encuentra la
"Secuencia de Conejos de Fibonacci."
El matemático Francés Edouard Lucas
(1842-1891) fue quien dio el nombre de
números de Fibonacci a la sucesión de números mencionados por Fibonacci en su
libro.
HISTORIA
La sucesión fue descrita por
Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: “Cierto hombre
tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se
podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta
que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se
empiezan a reproducir”.
Nota: al
contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad
de parejas totales que hay hasta ese mes.
De esta manera Fibonacci
presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas
propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas,
responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
También Kepler describió los
números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753
que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi
(\phi) cuanto n tiende a infinito; es más: el cociente de dos términos
sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta
sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en
el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la
banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de
nuevas estructuras de frases musicales. Explicado matematicamente de la
siguiente manera:
TOMANDO COMO EJEMPLO LA SUCESIÓN
DE FIBONACCI ANTERIORMENTE DADA TENEMOS:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,
...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
El 2 se calcula sumando (1+1)
Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
Y el 5 es (2+3),
¡y asi sucesivamente!
Ejemplo: el siguiente número en la
sucesión de arriba sería (21+34) = 55
¡Así de fácil!
¡Ahora
si a poner a prueba tus conocimientos!.
Si tenemos la siguiente sucesión:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418,
317811, ...
¿Puedes
encontrar los números que siguen?
¿Qué
es lo más asombroso de esta
secuencia o sucesión matemática?
Lo más asombroso es que está
presente prácticamente en todas las cosas del universo, tiene toda clase de
aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y aparece en los más diversos elementos
biológicos.
Ejemplos
claros son la disposición de las ramas de los árboles, las
semillas de las flores, las hojas de un tallo, otros más complejos y aún mucho
más sorprendentes es que también se cumple en los huracanes e incluso hasta en
las galaxias enteras, desde donde obtenemos la idea del espiral de Fibonacci.
El número de espirales en
numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos
de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el
otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y
34 espirales. También aparece en las espirales que forman todas las piñas.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del
crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.
AHORA PUEDES
VER QUE NO ES DIFÍCIL…
Pero si aún tienes
duda o no entiendes, Inténtalo con este vídeo.
MÉTODO DE LA SECCIÓN ÁUREA
INTRODUCCIÓN
El método de búsqueda que se propondrá se basa en la proporción áurea, la cual se conoce y estudia desde la época griega, y tiene relación con trabajos de artistas y matemáticos en toda la historia, como es el caso de Leonardo da Vinci, Pitágoras, Fibonacci, Dalí, entre otros, además de presentarse en innumerables casos en la naturaleza. El objetivo principal es encontrar un algoritmo, que mediante iteraciones y un rango de trabajo dado, pueda minimizar el intervalo en donde se encuentra el mínimo local de la función objetivo.
DESCRIPCIÓN
Básicamente el método se explicará para la búsqueda de mínimos, lo cual puede ser extendido para buscar un máximo local de la misma forma. Este método se basa en ir minimizando un intervalo definido en el eje de las abscisas, en el cual se encuentra el extremo (mínimo local) que se busca. La idea principal es la comparación de las alturas en el eje de las ordenadas, de los límites superior e inferior dentro del rango de trabajo en el eje de las abscisas.
ILUSTRACIÓN DE LA SECCIÓN ÁUREA
SU ALGORITMO
SECCIÓN ÁUREA EN EL CUERPO HUMANO
SECCIÓN ÁUREA EN GEOMETRÍA
APLICACIONES DE LA SECCIÓN ÁUREA
Ingresa en este link, y descargarás automáticamente más información referente al método de la sección áurea:
http://profesores.elo.utfsm.cl/~jgb/CASASNIEVAS.pdf
sábado, 29 de noviembre de 2014
TEOREMA DE CAUCHY
La hipótesis de este teorema es que contamos con dos
funciones F y G que son continuas en un intervalo cerrado [a,b] y derivables en
el intervalo abierto (a,b).
El valor del primer miembro es constante:
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos
dice que existen dos puntos (c, f(c)) y (c, g(c)) de las curvas f(x) y g(x),
tales que la pendiente de la tangente a la curva f(x) en el primer punto es k
veces la pendiente de la tangente a la curva g(x) en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar
teorema del valor medio generalizado.
EJEMPLO
Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las funciones:
f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x − 5.
En caso afirmativo, aplicarlo.
Las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en 
por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) .
por ser polinómincas, luego, en particular, son continuas en [1, 4] y derivables en (1, 4) .
Además se cumple que g(1) ≠ g(4).
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
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